Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & - y & - z \\ x & 2 y & - z \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - y & - z \\ 2 y & - z \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} - y & - z \\ 2 y & - z \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} - y & - z \\ 2 y & - z \end{array} | - y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} - y & - z \\ 2 y & - z \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (- y (- z) - 2 y (- z)) - y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (- 1 \cdot - 1 y z - 2 y (- z)) - y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (1 y z - 2 y (- z)) - y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x (y z - 2 y (- z)) - y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (y z - 2 \cdot - 1 y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x (y z + 2 y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Addiere $y z$ und $2 y z$ .

$x (3 y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 x & - z \\ x & - z \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (3 y z) - y (2 x (- z) - x (- z)) + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (3 y z) - y (2 \cdot - 1 x z - x (- z)) + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (3 y z) - y (- 2 x z - x (- z)) + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (3 y z) - y (- 2 x z - 1 \cdot - 1 x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (3 y z) - y (- 2 x z + 1 x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x (3 y z) - y (- 2 x z + x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 2 x z$ und $x z$ .

$x (3 y z) - y (- x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 2 x & - y \\ x & 2 y \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (3 y z) - y (- x z) + z (2 x (2 y) - x (- y))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (3 y z) - y (- x z) + z (2 \cdot 2 x y - x (- y))$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x (3 y z) - y (- x z) + z (4 x y - x (- y))$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (3 y z) - y (- x z) + z (4 x y - 1 \cdot - 1 x y)$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (3 y z) - y (- x z) + z (4 x y + 1 x y)$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x (3 y z) - y (- x z) + z (4 x y + x y)$

Schritt 4.2.2

Addiere $4 x y$ und $x y$ .

$x (3 y z) - y (- x z) + z (5 x y)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x y z - y (- x z) + z (5 x y)$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- y (- x z)$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x y z + 1 y (x z) + z (5 x y)$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 x y z + y (x z) + z (5 x y)$

Schritt 5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x y z + y x z + 5 z x y$

Schritt 5.2

Addiere $3 x y z$ und $y x z$ .

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Schritt 5.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$3 x y z + x y z + 5 z x y$

Schritt 5.2.2

Addiere $3 x y z$ und $x y z$ .

$4 x y z + 5 z x y$

Schritt 5.3

Addiere $4 x y z$ und $5 z x y$ .

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Schritt 5.3.1

Bewege $z$ .

$4 x y z + 5 x y z$

Schritt 5.3.2

Addiere $4 x y z$ und $5 x y z$ .

$9 x y z$